Vznik kmitania v oscilačnej sústave.

 

V časti o rozdelení oscilátorov podľa druhu prvku určujúceho frekvenciu vytváraných kmitov sme si spomenuli, že najčastejšie sa používa v oscilátoroch rezonančný obvod a to buď sériový alebo paralelný. Všimnime si teda, aké fyzikálne deje prebiehajú v obvode paralelného rezonančného obvodu použitého v oscilačnej sústave. Pre jednoduchosť uvažujme najprv použitie ideálneho ( bezstratového ) kondenzátora C a ideálnej ( bezstratovej ) cievky L. Obvod nech je zapojený podľa obrázka.

Proces sledovania si rozdelíme na dva hlavné kroky v závislosti od polohy prepínača Pr.

  1. Ak je prepínač Pr. prepnutý do polohy 1. kondenzátor C je pripojený ku zdroju napätia Uo. Z tohoto zdroja sa kondenzátor C nabije tiež na napätie uC = Uo. Energia náboja nazhromaždená v kondenzátore je daná vzťahom :
  1. Po prepnutí prepínača Pr. do polohy 2. sa ku kondenzátoru C pripojí cievka L, cez ktorú sa kondenzátor začne vybíjať a obvodom začne tiecť prúd i. Tento prúd vytvára v okolí cievky magnetické pole. Napätie na kondenzátore uC sa bude zmenšovať a prúd i  v obvode sa bude zväčšovať. To znamená, že energia elektrického poľa kondenzátora WC sa bude zmenšovať a energia magnetického poľa cievky WL sa bude zväčšovať. V okamihu, keď napätie uC na kondenzátore sa bude rovnať nule ( uC = 0 V ), obvodom bude tiecť maximálny prúd i, t.j. i = Io. V tomto okamihu bude aj energia magnetického poľa cievky WL maximálna a bude rovná :

    Tým došlo k premene energie elektrického poľa kondenzátora WC na energiu magnetického poľa cievky WL. Ďalej sa bude prúd v obvode zmenšovať a tým aj energia magnetického poľa. Pritom sa bude v cievke indukovať podľa Lenzovho zákona napätie takej polarity, že bude spomaľovať zmenšovanie prúdu. Toto napätie, ako z Lenzovho zákona vyplýva, má opačnú polaritu ako napätie Uo, ktoré prúd  i  v obvode vyvolalo. Kondenzátor C sa začne nabíjať na toto napätie až sa nabije na maximálnu hodnotu tohoto záporného napätia, t.j. uC = – Uo. V okamihu, keď je  uC = – Uo je prúd  i v obvode nulový ( i = 0 A ). Tým došlo k premene energie magnetického poľa cievky WL na energiu elektrického poľa kondenzátora WC. Táto vzájomná zmena energií sa periodicky opakuje. Charakter zmien napätia  uC a prúdu  i v obvode je znázornený na obrázku hore. Časový priebeh takto vytváraných kmitov predstavuje striedavé napätie a prúd, ktoré vieme popísať rovnicami :

uC = Uo.cos wt         a        i = Io.sin wt

    Tento jav však nastáva len vtedy, keď sa celá energie WC premení na energiu WL a naopak, teda ak rezonančný obvod LC nemá odpor, na ktorom by sa časť energie premieňala na teplo. Len za tohto predpokladu môžu vzniknúť periodicky sa opakujúce netlmené harmonické kmity napätia a prúdu s konštantnou amplitúdou. Súčasne vidieť, že prúd v obvode sa oneskoruje za napätím o 90°. Frekvenciu kmitov určíme z rovnosti energií  WC = WL , teda :

      ( 1 )

Pre napätie Uo platí :

takže po dosadení do rovnice ( 1 ) dostávame :

po vykrátení a úprave dostávame známy Thomsonov vzťah :

        alebo        

Z rovnosti energií tiež vyplýva, po úprave rovnice ( 1 ), že :

        kde        

je vlnový odpor rezonančného obvodu pre rezonančnú frekvenciu  fo.

    Doposiaľ sme sa zaoberali rezonančným obvodom tvoreným ideálnym kondenzátorom a ideálnou cievkou. V praxi však ideálne prvky neexistujú a či kondenzátor alebo cievka majú určité reálne stratové odpory. Pretože stratový odpor cievky je omnoho väčší ako stratový odpor kondenzátora, pri sledovaní vlastností reálneho rezonančného obvodu RLC stratový odpor kondenzátora zanedbáme. Obvod nech je zapojený podľa obrázka.

    Ako z obrázka vidno stratový rezistor R je zapojený v sérii s cievkou L. Podobne ako sme si vysvetlili vyššie, aj tu dochádza k premene energie elektrického poľa kondenzátora WC na energiu magnetického poľa cievky WL, ale aj na tepelnú energiu WR na stratovom rezistore R , ktorá sa vyžiari do okolitého prostredia. Tým amplitúda vzniknutých kmitov postupne klesá, až kmity úplne zaniknú. Hovoríme o aperiodicky doznievajúcich kmitoch.. Charakter zmien napätia uC a prúdu i  v obvode je znázornený na obrázku hore.

    Všeobecne sa môžu pomery v tomto obvode opísať diferenciálnou rovnicou, z ktorej sa môže vyjadriť frekvencia kmitania podľa výrazu :

      ( 2 )

pričom d predstavuje činiteľ tlmenia a udáva rýchlosť poklesu amplitúdy kmitov:

Činiteľ tlmenia úzko súvisí s kvalitou Q rezonančného obvodu. Kvalita obvodu je určená vzťahom :

Čím je väčšie tlmenie obvodu, tým je menšia jeho kvalita a naopak.

    Pre malé hodnoty odporu stratového rezistora R môžeme v rovnici ( 2 ) člen d zanedbať a tým sa frekvencia tlmených kmitov w´ sústavy so stratovým rezistorom R bude rovnať frekvencii kmitov wo sústavy bez stratového rezistora R. Časový priebeh vytváraných tlmených kmitov predstavuje striedavé napätie a prúd, ktoré vieme popísať rovnicami :

uC = Uo.e-d.t.cos wt         a        i = Io.e-d.t.sin wt

    Aby rezonančný obvod kmital s konštantnou amplitúdou, treba sústavne v každom časovom okamihu kompenzovať účinky strát na rezistore R. Vhodným prepojením rezonančného obvodu a aktívneho prvku, najčastejšie zosilňovača, môžeme zostrojiť oscilátor, ktorý vytvára netlmené kmity. Zosilňovač, ako aktívny štvorpól kompenzuje straty v rezonančnom obvode.



Všeobecné podmienky kmitania.


    Ako sme na konci predchádzajúcej state povedali, na vytvorenie oscilátora s konštantnou amplitúdou je potrebné sústavné dodávanie energie kmitajúcej sústave pomocou zosilňovača s vhodne zvolenou spätnou väzbou. Ide teda o spätnoväzobné oscilátory s kladnou spätnou väzbou, ktoré majú tzv. blok spätnej väzby, označovaný ß a blok zosilnenia, označovaný A. Keďže tieto bloky obsahujú reaktancie, kondenzátory a niekedy aj cievky, ich prenosy majú komplexný tvar.

V téme “Zosilňovače” v podtéme “Spätná väzba v zosilňovačoch” sme si definovali napäťový prenos zosilňovača Au so spätnou väzbou rovnicou :

    Ako sme si v spomínanej podtéme povedali, ß.Au je stupeň spätnej väzby a môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Pre kladnú spätnú väzbu nadobúda kladné hodnoty. Môže nastať špeciálny prípad, keď stupeň spätnej väzby ß.Au = 1. Vtedy vznikajú harmonické kmity. Rovnosť ß.Au = 1 je všeobecnou podmienkou vzniku kmitania. Keďže vo všeobecnosti stupeň spätnej väzby má komplexný tvar, všeobecná podmienka kmitania bude splnená, ak budú splnené dve dielčie podmienky. Tieto dielčie podmienky dostaneme, ak si všeobecnú podmienku vyjadríme v komplexnom tvare.

Ak jednotlivé prenosy vieme vyjadriť v komplexnom tvare a to :

potom všeobecnú podmienku kmitania vieme zapísať :

        ( 3 )

Rovnica ( 3 ) bude splnená len vtedy, ak budú platiť tieto dve rovnice :

ß.Au = 1
jß + jA = 2.k.p ( k = 0, 1, 2, ... )

    Prvá rovnica  ß.Au = 1  sa nazýva amplitúdová podmienka kmitania. Podľa nej bude oscilátor vytvárať ustálené kmity len vtedy, ak súčin prenosu ß bloku spätnej väzby a zosilnenia Au bloku zosilnenia sa bude rovnať jednej. V praxi sa nastavuje tento súčin na hodnotu mierne väčšiu ako jedna, čím sa zabezpečí spoľahlivé rozkmitanie oscilátora aj pri zmenšení zosilnenia Au bloku zosilnenia napríklad z dôvodu zníženia napájacieho napätia alebo starnutia aktívnych alebo pasívnych prvkov v zosilňovači.

    Druhá rovnica  jß + jA = 2.k.p  sa nazýva fázová podmienka kmitania. Podľa tejto podmienky bude oscilátor vytvárať kmity len vtedy, keď súčet fázových posunov bloku spätnej väzby a bloku zosilnenia v  slučke spätnej väzby bude celočíselným násobkom 2.p.

    V harmonických oscilátoroch sú tieto podmienky splnené pre jedinú frekvenciu vytváraných kmitov  fo. Ak by obidve podmienky kmitania platili v ustálenom stave súčasne pre viac rôznych frekvencií, potom by oscilátor pracoval ako generátor nesínusových ( neharmonických ) kmitov, pretože by vytváral napätie s priebehom daným superpozíciou ( lineárnym sčítaním ) všetkých frekvenčných zložiek, pre ktoré sú obidve dielčie podmienky kmitania splnené.

    Ako sme už povedali, v praxi sa nastavuje súčin ß.Au vždy mierne väčší ako jedna. V takomto prípade by mala amplitúda vytváraných kmitov tendenciu narastať do nekonečna. V skutočnosti amplitúda vytváraných kmitov sa zväčšuje dovtedy, kým nenastane jej samočinné ustálenie v dôsledku zakrivenia dynamickej prevodovej charakteristiky zosilňovacej súčiastky, čím sa zmenší jej prúdové zosilnenie a v konečnom dôsledku aj jej napäťové zosilnenie, alebo v dôsledku zmenšenia jej vstupného odporu, čím sa zväčší útlm pasívneho štvorpólu oscilátora pripojeného na vstup zosilňovacej súčiastky.

    Na záver je možné povedať, že pre vznik samočinného kmitania oscilátora je potrebné, aby vždy boli splnené obidve podmienky kmitania. Ak by bola splnená len jedna a druhá by sa len približovala k požadovanej hodnote ( napr. by  ß.Au = 0,95 alebo jß + jA = 320° ) , potom by obvod bol len náchylný na kmitanie. Vplyvom vonkajšieho pôsobenia ( napr. pri zapnutí napájania, alebo po privedení impulzu ) by sa obvod rozkmital, ale kmity by postupne zanikali, až by sa úplne utlmili.


!!!   Použitie obsahu stránok alebo ich častí na "kvaziautorské" a komerčné účely je v rozpore s autorskými právami a je možné len so súhlasom autora   !!!

Spracoval :  Ing. Alexander Žatkovič
Prípadné pripomienky alebo otázky zasielajte na adresu