Fourierova veta  a  Fourierov rozvoj


Matematická podstata harmonickej analýzy a podmienky, v ktorých ju možno realizovať, sú vyjadrené Fourierovou vetou :

       Každú jednoznačne určenú periodickú funkciu F(t) ( s opakovacou periódou T a opakovacou frekvenciou fo ),  ktorá má v intervale T  konečný počet extrémov a nespojitostí, možno vyjadriť nekonečným goniometrickým radom v tvare :

Funkcia F(t)

Pravá strana rovnice sa nazýva Fourirovým radom ( rozvojom.)

a0 ..... predstavuje strednú hodnotu funkcie F(t) za čas T a nazýva sa jednosmerná zložka
cos nwt ..... sú kosínusové zložky
Fourierového rozvoja.   n ... je celé kladné číslo.
sin nwt .... sú sínusové zložky
an, bn .... sú činitele ( koeficienty ) Fourierového radu.

       Pre ilustráciu daných tvrdení nám poslúži nasledujúci obrázok, na ktorom je znázornená analýza, poprípade syntéza signálu pílovitého priebehu pre sedem harmonických zložiek.

Analýza signálu pílovitého priebehu pre sedem harmonických zložiek



       Ak si lepšie všimneme Fourierov rozvoj funkcie F(t), môžeme zistiť, že kosínusové aj sínusové zložky obsahujú členy s rovnakou frekvenciou  w02w03w0 ,  ... nw0 .  Potom podľa známej goniometrickej poučky môžeme každú takúto dvojicu členov vyjadriť jediným členom.

Pre prvú harmonickú ( základnú ) bude mať tento člen tvar :

a1.cos w0t + b1. sin w0t = A1.cos (w0t - j1 )

Potom Fourierov rozvoj môžeme napísať aj v tvare :

F(t) = A0 + A1.cos ( w0t - j1 ) + A2.cos ( 2w0t - j 2 ) + .... + An.cos ( n w0t - jn )

A platí :

Vektor An
an = An.cos wn bn = An.sin wn



S Fourierovým rozvojom úzko súvisí frekvenčné spektrum signálu.




!!!   Použitie obsahu stránok alebo ich častí na "kvaziautorské" a komerčné účely je v rozpore s autorskými právami a je možné len so súhlasom autora   !!!

Spracoval :  Ing. Alexander Žatkovič
Prípadné pripomienky alebo otázky zasielajte na adresu